导数2:导数的意义

378 2021-04-30 11:12

2.导数的意义

柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广,是微分学的基本定理之一。其几何意义为,用参数方程表示的曲线上至少有一点,它的切线平行于两端点所在的弦。该定理可以视作在参数方程下拉格朗日中值定理的表达形式。
柯西中值定理粗略地表明,对于两个端点之间的给定平面弧,至少有一个点,使曲线在该点的切线平行于两端点所在的弦。

21解说:你真的懂了拉格朗日中值定理证明的柯西中值定理吗?那个垂直的辅助线,那个新的函数的意义?为什么可以等于0.这涉及到罗尔定理、费马引理。引理的作用是用极值点来确定水平的切线。最大、最小极值点的合并,证明了罗尔中值定理。罗尔中值定理在直角坐标系的旋转,证明了拉格朗日中值定理。拉格朗日中值定理的参数方程或者说,坐标相关,证明了柯西中值定理。真的能想通了之后。你才会发现。原来大师们是用了这么一个巧妙的线段来完成线性证明的。这是一种巧思。而并不是光明大道一望可知。这种思维上的独木桥,你走过,和你看出来它是怎么搭建的。你的境界是完全不同的。

切线才是比例、割线不是。

切线是中有值、中间值;并不是中央值!

切线不像割线能看得见摸得着。但是没有割线这个错误的无穷小,也就不可能有真正的切线这个极限的无穷小。

微商、商的正是这切线。

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