线性代数中的拉伸变换,不如叫做剪贴
117 2024-11-18 16:25
线性变换中的剪切(shear)是什么意思
kimi:
在线性代数中,线性变换是从一个向量空间到另一个向量空间的函数,它保持向量加法和标量乘法的操作。剪切(shear)是线性变换的一种特殊形式,它是一种沿特定方向拉伸空间的变换。
具体来说,剪切变换可以这样理解:
1. **定义**:剪切变换是一种线性变换,它沿着一个方向拉伸空间,同时保持另一个方向的尺寸不变。在二维空间中,剪切变换可以沿x轴或y轴进行,而在三维空间中,可以沿x轴、y轴或z轴进行。
2. **效果**:剪切变换的效果是使空间中的点沿着一个轴向另一个轴方向移动,而保持另一个轴方向的位置不变。例如,在二维空间中,沿x轴的剪切会使得点沿着y轴方向移动,而其x坐标保持不变。
3. **矩阵表示**:在二维空间中,沿x轴的剪切变换可以用以下矩阵表示:
\[
\begin{pmatrix}
1 & k \\
0 & 1
\end{pmatrix}
\]
其中,\(k\) 是剪切因子,它决定了沿y轴方向的拉伸程度。如果 \(k > 0\),则点会向上移动;如果 \(k < 0\),则点会向下移动。
同样,沿y轴的剪切变换可以用以下矩阵表示:
\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
k & 1
\end{pmatrix}
\]
其中,\(k\) 同样决定了沿x轴方向的拉伸程度。
4. **应用**:剪切变换在计算机图形学、图像处理和工程领域中有广泛的应用,比如在图像的几何校正、3D建模和动画中模拟物体的变形等。
总的来说,剪切变换是一种通过沿一个轴拉伸空间来改变形状的线性变换,它在数学和工程领域中有着重要的应用。
shear的词根、来源
"shear"这个词的词根和来源可以追溯到印欧语系。具体来说:
1. "shear"这个词的英语形式是印欧语系词根\* sker- “cut”的主要后裔,这个词根也产生了英语中的"score"、"share"、"shirt"、"short"和"skirt",可能还包括"sharp"和"shore"。
2. "shear"的直接来源是史前日耳曼语\* skeran,这个词也演变为德语和荷兰语的"scheren"、瑞典语的"skära"和丹麦语的"skjære"。
3. "shear"这个词来自古英语的"sceran",意为“剪下,切下”,来自原始日耳曼语族\*sker- “剪切”(源头还包括古诺尔斯语和古弗里西亚语"skera",荷兰语"scheren",德语"scheren"),源自PIE(原始印欧语)词根\*sker-(1)“剪切”。
4. 与"shear"相关的词汇还包括"shears"(大剪刀),这个词来自中古英语"sheres",源自古英语"scearra"("scear"、"scer"的复数形式)"剪刀",源自原始日耳曼语\*sker- "剪"。
综上所述,"shear"这个词的词根是原始印欧语的\* sker-,意为“剪切”,这个词根在多个日耳曼语族语言中都有体现,并且与"share"、"sharp"等词同源。
为什么用shear来定义拉伸
"Shear"这个词用来定义拉伸,主要是因为它描述了一种特定的物理动作和效果,这种动作和效果在几何变换中被称为剪切变换。以下是为什么使用"shear"来定义这种拉伸的几个原因:
1. **直观的动作描述**:"Shear"这个词在日常生活中指的是用剪刀剪切或撕开的动作。在几何变换中,剪切变换的效果类似于用剪刀沿着一个方向剪切物体,使得物体的一部分沿着另一个方向移动,这与用剪刀剪切的动作非常相似。
2. **形象的视觉效果**:在二维或三维空间中,剪切变换会导致物体的形状发生扭曲,这种扭曲的效果与用剪刀剪切布料或纸张时产生的视觉效果相似。物体的一部分被“拉伸”或“撕扯”到另一个方向,而另一部分保持原位。
3. **数学上的描述**:在数学上,剪切变换可以通过特定的矩阵来表示。这种变换矩阵会导致向量在某个方向上被拉伸,而在另一个方向上保持不变。这种效果与"shear"这个词描述的剪切动作相吻合。
4. **历史和习惯用法**:"Shear"这个词在数学和物理学中用来描述这种特定的变换,已经成为一种习惯用法。这种用法可能是由于历史上的某个时刻,人们发现这种变换的效果与"shear"这个词描述的动作非常相似,因此开始使用这个词来描述这种变换。
5. **区分其他类型的变换**:使用"shear"这个词可以帮助区分其他类型的线性变换,如旋转、缩放和平移。每种变换都有其独特的效果和数学表示,使用特定的词汇可以帮助清晰地区分它们。
综上所述,"shear"这个词用来定义拉伸,主要是因为它直观地描述了剪切变换的动作和效果,同时也与数学上的表示和历史习惯用法相吻合。这种用法有助于清晰地描述和理解这种特定的几何变换。
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