五度相生律(三分损益法)的数学原理(少儿编程课程)

73 2022-07-24 14:57

“三分损益法”理论是世界上最早制定的“十二律”的理论,比古希腊哲学家、数学家毕达哥拉斯的“律制”要早一个世纪左右。
古人使用“三分损益法”,在生成“宫、 徵、商、羽、角”五个音阶之后,并没有停止下来,而是继续“损益”下去。“三分损一”,“三分益一”……在连续进行了各六次之后,共得出十二个音,就是我们音乐上所使用的一个八度之内的十二个半音。中国古人将这十二个半音音阶称为“十二律”,它们的名称分别是:
黄钟(C),林钟(G),太簇(D),南吕(A),姑冼(E),应钟(B),蕤宾(#F),大吕(#C),夷则(#G),夹钟(#D),无射(#A),仲吕(#E)。
对这十二律再加以区分,分出了六个阳律和六个阴律,六个阳律称为“律”,六个阴律称为“吕”。黄钟与“三分益一”产生的为阳,六阳律即“律”包括“黄钟、太簇、姑洗、蕤宾、夷则、亡射”;用“三分损一法”产生的六阴律为“吕”,“六吕”包括“林钟、南吕、应钟、大吕、夹钟、中吕”。
最早见于公元前7世纪齐国丞相管仲《管子·地员》篇中,该书相传为春秋时管仲(约前730—前645)所著。地员是一篇研究土壤的论文,他依据2/3弦是全弦五度音的原理,在一定张力的弦上连续按2/3(损益)4/3(溢益)地方法生出上五度下四度各音,直到生出12律,这种方法为三分损益法,这种律为三分损益率。
《管子·地员》第五十八篇
“凡听徵,如负猪豕觉而骇。凡听羽,如鸣马在野。凡听宫,如牛鸣窌中。凡听商,如离群羊。凡听角,如雉登木以鸣。凡将起五音凡首,先主一而三之,四开以合九九,以是生黄钟小素之首,以成宫。三分而益之以一,为百有八,为徵。不无有三分而去其乘,适足,以是生商。有三分,而复于其所,以是成羽。有三分,去其乘,适足,以是成角。”

简单总结一下,就是当频率满足1:2(1→#1)、2:3(1→5)、3:4(1→4),或者用弦长、管长来表示2:1(1→#1)、3:2(1→5)、4:3(1→4)的时候,人耳听起来最和谐。

在物理上怎么解释呢?我们用正弦波来演示,

1和5的比例关系为:

1和高音1纯八度的比例关系(1:2):

1和4纯四度的比例关系(3:4):

和弦的时候:

可以看到四个音很快的和在了一起,相当悦耳。

上图源代码:

那么五度相生律,产生音阶的顺序是如何的呢?

由1开始到高音1结束,如图:

全部评论

·