相似三角形

820 2023-03-03 10:54

简介

三角分别相等,三边成比例的两个三角形叫做相似三角形(similar triangles)
相似三角形是几何中重要的证明模型之一,是全等三角形的推广。全等三角形可以被理解为相似比为1的相似三角形。相似三角形其实是一套定理的集合,它主要描述了在相似三角形是几何中两个三角形中,边、角的关系。

定理

相似三角形的性质
定义 相似三角形的对应角相等,对应边成比例。
定理 相似三角形任意对应线段的比等于相似比
定理 相似三角形的面积比等于相似比的平方。
相似三角形的判定
类比全等三角形的判定定理,可以得出下列结论:
定理 两角分别对应相等的两个三角形相似。
定理 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
定理 三边成比例的两个三角形相似。
定理 一条直角边与斜边成比例的两个直角三角形相似。
根据以上判定定理,可以推出下列结论:
推论 三边对应平行的两个三角形相似。 [1] 
推论 一个三角形的两边和三角形任意一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例,那么这两个三角形相似。
相似三角形的特殊情况
1.凡是全等的三角形都相似
全等三角形是特殊的相似三角形,相似比为1。反之,当相似比为1时,相似三角形为全等三角形。
2. 有一个顶角或底角相等的两个等腰三角形都相似
由此,所有的等边三角形都相似。

性质

1. 相似三角形对应角相等,对应边成比例
2. 相似三角形的一切对应线段(对应、对应中线、对应角平分线外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比
3. 相似三角形周长的比等于相似比。
4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方
由 4 可得:相似比等于面积比的算术平方根。
5. 相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同,内切圆、外接圆面积比是相似比的平方
6. 若a/b =b/c,即b²=ac,b叫做a,c的比例中项
7. a/b=c/d等同于ad=bc.
8. 不必是在同一平面内的三角形里。

推论

推论一:腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。
推论二:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。
推论三:如果一个三角形的两边和三角形任意一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例,那么这两个三角形相似。

射影定理

射影定理(又叫欧几里德(Euclid)定理)俗称母子三角形直角三角形中,斜边上的高是两直角边斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
例如:(前提:∠BAD+∠DAC=90度,AD⊥BC)公式Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,则有射影定理如下:(1)(AD)^2=BD·DC,(2)(AB)^2=BD·BC,(3)(AC)^2=CD·BC。等积式 (4)ABXAC=BCXAD(可用面积来证明)
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在任一条(与这组平行相交的)直线上截得的线段也相等
两条直线与一组平行线相交,它们被这组平行线截得的对应线段成比例.
三、平行截割定理推论
平行于三角形一边的直线截其他两边,截得的三角形与原三角形的对应边成比例.

运用

  1. 求物高,求距离。
  2. 设x的方程思想=等式 如下:面积公式勾股定理全等三角形或相似三角形三角函数
  3. 步骤看实际问题(给定)提取关键信息画相应图形(建立数学模型)找出等量关系(设X求解)
  4. 默认已知的条件:太阳光是平行光线同一时刻,甲物高/乙物高=甲影长/乙影长
 

证明:《几何原本》-第6卷“相似图形”(4)-为什么相似三角形对应边成比例?

全部评论

·