微分方程、微商、导数的顺序

559 2023-03-11 11:36

既然导数是一个整体,那么如何理解微分方程中分离变量? 

这是因为接触顺序的问题。

现在高数学习中,会先接触导数,后接触微分。

dy/dx可以拆分开,是要在接触微分之后才有意义,dy与dx分别表示函数的微分与自变量的微分,是两个微分的商,(微分其实也是一种极限,所以也是极限比极限)所以导数也叫微商。既然是个商,就可以乘一下除一下化简一下(变量分离)。

但是,在接触微分之前,dy/dx,也就是导数,是直接通过极限定义的,它是函数增量与自变量增量比值的极限,注意是这个比值整体的极限。那可不可以分开看?可以,因为极限有四则运算性质,只要分母极限不为0,那么极限的比值就等于比值的极限。但是这样还会有一个问题,这只是运算上的相等,实际意义呢?比值的极限,是导数!那极限的比值是什么?其实这个时候就是微分比微分了,但是你只接触了导数,微分的概念还在后面没有涉及,因此在导数那一块,只强调了当成整体,不需要分开看。到了微分的内容,这个就有明确意义地分开了。



作者:亓官一
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来源:知乎
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