导数3:中值定理、泰勒展开、洛必达法则(罗尔中值定理证明拉格朗日中值定理时候的那些坑)、等价无穷小

449 2021-12-20 17:51

柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广,是微分学的基本定理之一。其几何意义为,用参数方程表示的曲线上至少有一点,它的切线平行于两端点所在的弦。该定理可以视作在参数方程下拉格朗日中值定理的表达形式。
柯西中值定理粗略地表明,对于两个端点之间的给定平面弧,至少有一个点,使曲线在该点的切线平行于两端点所在的弦。

21解说:你真的懂了拉格朗日中值定理证明的柯西中值定理吗?那个垂直的辅助线,那个新的函数的意义?为什么可以等于0.这涉及到罗尔定理、费马引理。引理的作用是用极值点来确定水平的切线。最大、最小极值点的合并,证明了罗尔中值定理。罗尔中值定理在直角坐标系的旋转,证明了拉格朗日中值定理。拉格朗日中值定理的参数方程或者说,坐标相关,证明了柯西中值定理。真的能想通了之后。你才会发现。原来大师们是用了这么一个巧妙的线段来完成线性证明的。这是一种巧思。而并不是光明大道一望可知。这种思维上的独木桥,你走过,和你看出来它是怎么搭建的。你的境界是完全不同的。

柯西中值定理直指泰勒展开式。解决多项式除法问题,泰勒公式是绝妙好辞。多项式高次幂和乘函数高阶求导都碰到莱布尼茨三角。那比杨辉三角要系统的多。

求导时多个相对于自变量x的函数,以及罗尔中值定理证明拉格朗日中值定理时候的那些坑:

3-1.中值定理

3-2.等价无穷小

 

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