巴塞尔问题之一、倒数勾股定理(少儿编程课程)

367 2022-07-17 14:35

上一次我们求圆周率,还是上一次

巴塞尔问题是一个著名的数论中的级数问题,问题是:求出自然数平方的倒数之和。这个问题首先由皮耶特罗·门戈利在1644年提出,由莱昂哈德·欧拉在1735年解决。由于这个问题难倒了以前许多的数学家,欧拉一解出这个问题马上就出名了,当时他二十八岁。这个问题是以瑞士的第三大城市巴塞尔命名的,它是欧拉和伯努利家族的家乡。

巴塞尔问题发展到现代。结合物理学,有了很多衍生意义。我们现在讲最有意思的一个!

我们知道光是沿直线传播,并且知道光子的能量沿直线不会损失。参考如下:

机械波在传播的过程中,能量会逐渐损耗,这个现象被称为波的吸收。但光是以电磁波形式传播,电磁波在传播过程中无能量损失,所以光在传播过程中无能量损失。

光是直线传播(均匀介质中)的,但当光遇到另一介质(均匀介质)时方向会发生改变,改变后依然缘直线传播。而在非均匀介质中,光一般是按曲线传播的。

假设有一天,我们遇到了科幻电影中的情景,整个世界笼罩在黑暗当中。如果我们建设灯塔,用太阳能板来吸收灯塔的光能。用来发电维持生活。那么我们如何建设灯塔得到稳定的电量呢?

我们具备如下的条件:

  1. 光沿直线传播
  2. 光源散射光子
  3. 接收的光子越多,获得的能量越大
  4. 离光源越远,光线越稀疏

 

由上面的条件,结合下图观察,可以得出一个结论,假设我们设一个距离为单位长度,那么每增加一个单位长度,我们获得的光能将以自然数的平方的倒数的比例递减。

那么我们把太阳能发电板均匀的铺在远离我们的直线上。单位长度定义为1。单位面积定义为太阳板的面积。则按照这个比例,可以直观的从下图获得算法:

由上图可知,

距离4个单位的一块太阳能板获得的能量是距离1个单位的一块太阳能板获得的能量的1/16,

距离3个单位的一块太阳能板获得的能量是距离1个单位的一块太阳能板获得的能量的1/9,

距离2个单位的一块太阳能板获得的能量是距离1个单位的一块太阳能板获得的能量的1/4,

我们可以总结出推论:距离n个单位长度的一块太阳能板获得的能量是距离1个单位的一块太阳能板获得的能量的1/(n^2).也就是说距离每增加一步,能量减少成为步数的平方。很直观的把距离和能量用数学联系了起来。

我们可以简单的用数学的加法,来理解上面的倒数勾股定理:

下图中,一个角晒到太阳能板上的能量 + 另一个角晒到太阳能板上的能量 = 底边高的一个顶点晒到太阳板上的能量

图解证明,如下图,前提条件是

1.直角三角形。

2.高在底边的顶点是光源

3.太阳能发电板平行于底边。

 

相同颜色的三角形是相似三角形

可以看出,随着两个小三角形的两个直角端慢慢贴近,小三角形的底边,逐渐贴合太阳能发电板。

根据等价无穷小:

sinx~x, tgx~x

角度越小弧长越短,在半径很大时,sinx~tgx,也就是说斜边和临边等长。

可知,太阳能发电板越小,则能量A + B =  C

大学高等数学等价无穷小证明该结论正确。或者观看下面无字证明的视频:

 

 

其中A、B是两个锐角发射的光能,C是高在底边的顶点发出的光能。

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