1. 核心不变：世界线长度仍是固有时
   无论时空平直（狭义相对论）还是弯曲（广义相对论），只要沿着某条类时世界线行走，随身带的理想钟读出来的就是固有时 τ，定义仍是
   τ = ∫√(−g_{μν}dx^{μ}dx^{ν})/c
   只是把平直度规 η_{μν} 换成一般度规 g_{μν}(x)。
2. 新现象：引力本身让固有时“伸缩”
   在史瓦西时空（球对称真空）里，把一只静止钟放在半径 r 处，它测得的固有时与无限远坐标时 t 的关系是
   dτ = √(1−2GM/rc²) dt
   于是“越低越慢”——地球上原子钟比GPS卫星每天慢约 45 µs，其中 38 µs 来自引力，7 µs 来自速度（狭义部分）。
3. 计算任意轨道：先写度规，再积分
   例：地球极轨卫星，用史瓦西度规+圆轨道近似，把 dr=dθ=0，dφ=ωdt 代入，得
   τ = ∫√(1−2GM/rc²−r²ω²/c²) dt
   两项分别对应“引力红移”和“速度时间膨胀”，一目了然。

1. 测地线 = 局域惯性系里的“自由落体”轨迹
   在只受引力的情形下，粒子世界线就是测地线。
2. 固有时取极值（严格说是“极大”）
   在类时测地线上，τ 是“所有相邻世界线里最大的”；换句话说，自由下落的钟比任何加速往返的钟走得都快。
   数学上对应泛函
   δ∫√(−g_{μν}dx^{μ}dx^{ν}) = 0
   这正是测地线方程的变分原理。
3. 一句话总结
   “自由下落”不仅是最直的路径，也是“时间走得最快”的路径——固有时最大原理。

1. 设 S′ 系相对 S 系以速度 v 沿 x 方向匀速运动，两系原点重合时 t=t′=0。
2. 在 S 里同一地点先后发生两事件，间隔 (ct, 0, 0, 0)。
   洛伦兹变换给出 S′ 里的坐标
   ct′ = γ(ct − β·0) = γct
   x′ = γ(x − vt) = −γvt
3. 但“同一地点”只在 S 里成立；在 S′ 里这两事件空间坐标不同，因此 S′ 必须用自己的两只同步钟去测，得坐标时 Δt′ = γΔt。
4. 而那只一直坐在 S 原点不动的钟给出的正是固有时 Δτ ≡ Δt。
   于是
   Δt′ = γΔτ,  γ = 1/√(1−v²/c²)
   这就是“动钟变慢”：观测者看到运动的那只钟（固有时 Δτ）比自己坐标时 Δt′ 短了 1/γ。

只要“谁受过真正的加速度（世界线不是测地线）”这一点不变，
双生子年龄差就永远由“各人自己的固有时”决定；
地球自转、把地面人‘旋回起点’这些角运动，只给地球方再贡献
大约 10⁻²⁰ 量级（几十纳秒/年）的额外修正，
远远小于飞船因速度+远离地球引力势而少掉的那几分钟或几年。
因此“自转回到原点”不会把佯谬取消，也不改变“航行兄弟更年轻”的结局。

1. 设地球为惯性系 S，飞船瞬时速度 v（常数段），折返共花地球时 T。
2. 地球兄弟世界线：x≡0，固有时 τ_E = T。
3. 飞船兄弟世界线：两段对称匀速+极短掉头，固有时
   τ_F = T／γ，γ = 1/√(1−v²/c²)。
   差值 Δτ = T(1−1/γ) 正是大家熟悉的“航行兄弟更年轻”。

1. 地球不是惯性系，地面人随地球做圆周运动，半径 R≈6.4×10⁶ m，
   线速度 u = ωR≈465 m/s (赤道)。
2. 他的世界线不再是 (ct,0,0,0)，而是螺旋线
   x(t)=R cosωt, y(t)=R sinωt, z≡0。
3. 计算固有时微元
   dτ = √(dt²−(dx²+dy²)/c²) = dt√(1−u²/c²) ≈ dt(1−½u²/c²)。
   积分一年（T=1 yr）
   τ_E′ ≈ T(1−½u²/c²) ≈ T − 110 ns。
   也就是说：
   “因为地球自转，地面人比理想静止惯性钟每年少计约 110 纳秒。”
4. 飞船部分再补速度叠加吗？
   在整个往返段里，飞船速度 v 通常 ≥0.01c（≥3 000 km/s），
   u/c≈1.5×10⁻⁶ 可忽略，因此用简单 γ(v) 已足够。

1. 地球引力势
   地面钟所在势 Φ₀ = −GM/R ≈ −6.26×10⁷ J kg⁻¹，
   无限远观者的坐标时与固有时关系
   dτ = √(1+2Φ/c²) dt ≈ (1+Φ/c²) dt。
   因此地面钟比“无限远惯性”钟每年慢
   Δτ_grav ≈ T|Φ|/c² ≈ 0.022 s。
2. 自转“拖曳”与引力磁势
   地球角动量 J 产生的 off-diagonal 度规项 g₀φ 会给赤道钟再贡献
   δτ_Lense−Thirring ≈ 2GJ/(c³R²) · T ≈ 4×10⁻¹⁷ T，
   即每年仅几皮秒，实验上都刚测到，可无视。
3. 飞船部分
   ① 远离地球引力势：绝大部分旅程 Φ≈0，引力红移可忽略；
   ② 速度部分仍用狭义 γ(v)；
   ③ 加速掉头段：局部看等价于在火箭里“站立”在人工重力场，
   该段固有时仍按世界线长度积分，但已包含在总 τ_F 里，
   不会带来“额外奇迹”。
4. 把三栏写成年龄差（T=10 a，v=0.6c 做例）
   • 地面人：
     τ_E = T(1+|Φ|/c² − ½u²/c²) ≈ 10 y − 0.22 s − 1.1 μs
   • 飞船人：
     τ_F = T/γ = 10 y×0.8 = 8 y
     差值仍≈2 年，引力+自转只在地面上改了 0.22 秒量级，
     对“谁更年轻”的结论毫无影响。